Rutas matemáticas: situaciones de aprendizaje más allá del aula

“Las matemáticas se encuentran en todos lados, con ellas podemos leer, interpretar y transformar la sociedad”.

Las matemáticas son parte de nuestra vida cotidiana, se encuentran en las calles, en las tiendas, en las recetas de cocina, cuando bailamos, en las construcciones, en la naturaleza, en las formas de comunicarnos, etc. No en vano, las matemáticas son parte de la enseñanza básica obligatoria, constituyéndose en una herramienta para leer, interpretar y transformar la sociedad. Sin embargo, pareciera que hubiese dos tipos de matemáticas, aquellas que se trabajan en el aula y aquellas que viven fuera de la escuela. Quizá, esto se deba a la poca relación que existe entre las situaciones de aprendizaje planteadas en el aula, con el contexto real cercano al estudiante. De esta manera, los alumnos no reconocen las matemáticas como una herramienta potente para abordar y solucionar situaciones cotidianas.

En este artículo comparto algunas pautas basadas en una idea metodológica que busca mostrar la presencia e importancia de las matemáticas en contextos extraescolares, a través de un modelo de situación de aprendizaje que permita a los estudiantes transitar por tres momentos:

1. Una fase de exploración

2. Una fase procedimental y

3. Una fase de consolidación

Modelo de situaciones de aprendizaje

La situación de aprendizaje parte de una estrategia particular: una ruta matemática real, la cual es un recorrido por la localidad, que muestra la presencia de las matemáticas en algunos aspectos de la vida diaria de quienes habitan la zona, así como de las formas o estructuras matemáticas que configuran un escenario determinado.

Los ejemplos que se esbozan en este artículo son parte de una experiencia en el aula, llevada a cabo con estudiantes de grado décimo de educación media en Colombia. Se trabajaron aspectos generales de Trigonometría y Geometría Analítica; sin embargo, aplican para cualquier temática con los ajustes y reflexiones que haga el profesor.

Este artículo tiene como fundamento un enfoque centrado en las matemáticas en uso a través de una reflexión pedagógica que considera indispensable lograr que los estudiantes construyan sus propios conceptos, indaguen, y aprendan en movimiento estableciendo relaciones directas entre las matemáticas de la escuela y las matemáticas extraescolares (Cantoral, 2013). La propuesta parte de reconocer la importancia del desarrollo de la identidad, de reconocer el lugar donde se vive, de explorar quién somos de construir conocimiento a través de distintas áreas del saber y de poner al servicio de las matemáticas diversos conocimientos propios de la cultura (Corbalán, 2007).

En la actualidad, son varios los enfoques teóricos en el campo de la Matemática Educativa, los interesados en incorporar en los desarrollos metodológicos del aula situaciones que generen producciones matemáticas espontáneas de parte de los estudiantes (Novo, Serrano y Alsina, 2016) y que descentran la atención del objeto al otorgar un especial protagonismo al contexto, así como a las diversas formas de abordar, interpretar, responder y relacionarse con las matemáticas (Reyes-Gasperini, 2016). De ahí que haya surgido como motivación del planteamiento de una estructura metodológica materializada a través de una situación de aprendizaje que enmarcada bajo los principios del enfoque socioepistemológico, aporta a una didáctica renovada (Cantoral, 2013).

Propuesta de aprendizaje: recorridos turísticos-matemáticos

La situación de aprendizaje se estructuró a través de un razonamiento de tipo abductivo y tuvo como contexto de desarrollo una serie de recorridos turístico-matemáticos por la localidad en que los estudiantes viven y estudian.

La situación de aprendizaje estuvo orientada a través de preguntas que guiaron la indagación de los estudiantes a través de tres fases: la fase exploratoria, la cual buscaba que los estudiantes indagaran y conjeturaran sobre aspectos matemáticos identificados en su entorno concreto; la fase procedimental, en la cual los estudiantes contrarrestaron los resultados de su exploración y conjeturas con algunos aspectos matemáticos consolidados y; la fase de consolidación que buscaba que los estudiantes establecieran relaciones, generalizaciones o abstracciones de la información obtenida en la fase exploratoria y en la fase procedimental.

Durante el desarrollo de la propuesta, los estudiantes hicieron uso de recursos construidos en el aula para hallar medidas inasequibles (clinómetros), calculadoras para realizar cálculos, celulares para fotografiar lugares, grabar videos y tomar fotografías y uso de partes de su cuerpo para calcular medidas. Los aspectos matemáticos que se consideraron en la situación de aprendizaje fueron:

Situación de aprendizaje aplicada a las matemáticas

• Formas geométricas

• Sistemas de referencia y la recta

• La circunferencia, la elipse, la parábola

• Relaciones y variación

• Medidas inaccesibles y proporcionalidad

Se presentan a continuación algunas consideraciones y ejemplos de cómo desde la estructura propuesta se organizó la situación de aprendizaje, tanto el trabajo in situ, como en parte del trabajo procedimental y de la consolidación.

Formas geométricas

Tal como lo menciona Corbalán (2007, p.3), “en la escuela hay preponderancia de las planas, pero en nuestro entorno son tridimensionales”. De ahí que esta riqueza nos haya permitido generar preguntas particulares en torno a las diversas formas que se encuentran en un lugar determinado, preguntas que fueron más allá de su identificación y llevaron a una exploración de sus características, una reflexión en torno a su razón de ser y a la consolidación de su definición a través de sus propiedades (Figura 1).

Fase exploratoria para las formas geométricas

Muchas de las cosas que nos rodean tienen formas particulares. Los pisos, las paredes, los vitrales, las puertas o ventanas.

• ¿Qué formas observas en el lugar que visitaste? Toma una foto y luego haz su representación geométrica.

• ¿Por qué crees que esos lugares u objetos deben tener esas formas y no otras? Por ejemplo, ¿sería lógico que una puerta fuese redonda?

• Si pudieras cambiar alguna forma, ¿cuál cambiarías y por qué?

Busca a alguien que viva cerca o conozca la historia de tu iglesia local y hazle las siguientes preguntas, tómale fotos y pídele permiso para publicarlas. Transcribe las respuestas.

• ¿Quién construyó la iglesia?

• ¿Qué tipo de arte se observa en su construcción?

Fase procedimental para las formas geométricas

Sobre las formas geométricas que encontraste en el lugar:

• ¿Sabes cuánto miden las figuras que identificaste en la iglesia? Propón una medida; luego, la compruébalas midiendo la real. Dibújalas a escala en tu cuaderno ¿qué instrumentos empleaste para medirla?

• ¿Qué propiedades observas en cada una de las figuras? ¿Cómo las describirías a alguien que nunca ha visto esa figura?

• Investiga los nombres de las figuras geométricas que encontraste en el lugar. Investiga qué propiedades tienen las figuras y compruébalas con las reales.

Fase de consolidación para las formas geométricas

• En la fase procedimental dibujaste las figuras en un sistema de referencia y dedujiste algunas propiedades. Con esas propiedades, ¿cómo podrías definir esas formas?

• En la iglesia viste ¿Pendientes? ¿Circunferencias? ¿Parábolas? ¿Elipses? ¿Hipérbolas? ¿Por qué crees que tienen esas formas? ¿Cómo hallarías sus ecuaciones?

• Sistema de referencia y la recta.

• Se trata de poner de manifiesto algunas maneras de ubicarse en determinado lugar. Una forma de construir o hacer uso de sistemas de referencias convencionales (plano cartesiano) para ubicar con exactitud lugares, determinar distancias y lugares ubicados en puntos medios.

La circunferencia, la elipse y la parábola

Usualmente, en los libros de texto las figuras geométricas son trabajadas desde la parte algebraica desconociendo sus propiedades y aplicaciones en la vida real. Este ejercicio de reconocimiento de dónde se encuentran estas formas, sus propiedades y por qué determinados objetos del entorno tienen por excelencia esta forma y no otra, permite un primer acercamiento a los objetos en cuestión, en donde las propiedades se deducen a la luz de sus características observables. Este ejercicio busca que no solo se identifiquen los lugares geométricos como objetos del entorno (Figura 2), sino que además los estudiantes sientan la necesidad de expresar su representación a través de expresiones algebraicas para su exploración y como herramienta de manipulación del objeto y estudio de sus variaciones.

Como se observa a continuación la fase exploratoria y procedimental coincide con la presentada en las mismas fases de las figuras geométricas:

Fase exploratoria para la circunferencia, la elipse y la parábola

Muchas de las cosas que nos rodean tienen formas particulares.

• ¿Qué formas observas en el lugar que visitaste? Toma una foto y luego haz su representación geométrica.

• ¿Por qué crees que esos lugares u objetos deben tener esas formas y no otras?

• Si pudieras cambiar alguna forma, ¿cuál cambiarías y por qué?

Fase procedimental para la circunferencia, la elipse y la parábola

Sobre las formas geométricas que encontraste en el lugar:

• ¿Sabes cuánto miden las formas que identificaste? Propón una medida; luego, compruébalas midiendo la real. Dibújalas a escala en tu cuaderno, ¿qué instrumentos empleaste para medirla?

• ¿Qué propiedades observas en cada una de las formas? ¿Cómo las describirías a alguien que nunca ha visto esa figura?

• Investiga los nombres de las formas geométricas que encontraste en el lugar. Investiga qué propiedades tienen las figuras y compruébalas con las reales.

• Dibuja las figuras en un sistema de referencia y deduce las propiedades geométricas de cada figura. ¿Qué observas? ¿Qué concluyes?

Fase de consolidación para la circunferencia, la elipse y la parábola

• ¿Cómo representarías de forma algebraica las propiedades de las formas?

Relaciones y variación

Las relaciones son correspondencias entre elementos de dos conjuntos, las cuales permiten identificar cómo determinado ente matemático pueden expresarse como funciones matemáticas de otros entes. El ejercicio realizado en el marco de esta situación de aprendizaje busca que los estudiantes logren establecer relaciones de dependencia entre ingredientes de una receta realizando un análisis a profundidad que les permita caracterizar dependencias de diversos tipos (Figura 3).

Fase exploratoria en las relaciones y variaciones

• Averigua la receta para hacer una almojábana y para hacer una garulla [1]

Fase procedimental

• Haz un listado de los ingredientes que se usan para la elaboración de una almojábana, luego para la elaboración de dos, de tres, y de una docena.

• Haz una representación gráfica de las relaciones entre ingredientes. ¿Cómo es el modelo? Descríbelo. ¿Para qué sirve tener un modelo gráfico de esas relaciones?

• Averigua el costo de una almojábana y una garulla. Luego ve a la tienda y averigua el costo de los ingredientes para elaborarla. ¿Cuánto le ganan a un producto? ¿Qué porcentaje representa la ganancia?

Fase de consolidación en las relaciones y variaciones

• Busca un modelo algebraico que representa la relación entre los ingredientes de los productos.

• Busca un modelo gráfico que represente la relación entre los ingredientes de los productos.

• ¿Por qué son útiles los modelos?,¿cuál modelo te parece más fácil para realizar predicciones o generalizaciones?, ¿por qué?

Saquemos las matemáticas del aula a la vida cotidiana

La observación del papel que juegan las matemáticas en la vida social es un largo proceso que requiere un aprendizaje. Como casi todo en la educación, para que llegue a surtir efecto es necesario que se haga muchas veces, que llegue a ser una tarea cotidiana. Teniendo en cuenta las propuestas anteriores y las que cada uno puede ir aportando (cuanto más nos dediquemos a la tarea más encontraremos y cada vez más interesantes) seguro que contribuimos a sacar las matemáticas del aula y hacerlas visibles por las calles.

El reconocimiento del contexto a la luz de las fotografías que surgen de la exploración de lugares que usualmente visitan, pero esta vez, bajo un lente matemático, permitió a los estudiantes ampliar su mirada respecto a ese escenario y a las matemáticas mismas, pues ahora a través del hacer lograron identificar la utilidad de muchas de las temáticas trabajadas en la escuela.

En cada una de las fases de la situación de aprendizaje se hicieron preguntas que orientaron el trabajo. Con la puesta en marcha surgieron otras preguntas que permitieron que las discusiones fueran más interesantes y direccionadas.

Invito a los docentes interesados en el tema a replicar esta propuesta que les comparto en el artículo, adaptándolo a su contexto e intereses de aprendizaje de forma que sea una experiencia representativa para el estudiante. Sería de mucha utilidad si lo aplican y además comparten sus resultados. Me gustaría escuchar de ustedes. Pueden escribirme a mi correo electrónico.

Acerca de la autora

Paola Balda, es docente de matemáticas de la Institución Educativa General Santander en Colombia. Licenciada en Matemáticas, Magister en Docencia de las Matemáticas y Doctora en Educación. Su línea de investigación es la construcción social del conocimiento matemático.

Referencias

Corbalán, F. (2007):»Rutas matemáticas por nuestra localidad». Sigma, nº 30, 105-116.

Balda (2019). Rutas matemáticas por el municipio de Soacha. Revista UNO. N83 (octubre 2019)

Balda (2018). Una epistemología de usos de lo proporcional. Un estudio socioepistemológico en el contexto de la huerta escolar. Tesis doctoral no publicada. Universidad Santo Tomás. Bogotá-Colombia.

Cantoral, R. (2013). Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa. Estudios sobre construcción social del conocimiento. Barcelona: Gedisa.

MEN (2006). Estándares Básicos de Competencias. Ministerio de Educación Nacional. Bogotá-Colombia.

Novo M., Serrano, A. Alsina, Á. (2016). Educación matemática realista en educación infantil: “redescubriendo el teatro Calderón de Valladolid”. En Berciano, Ainhoa; Fernández, Catalina; Fernández, Teresa; González, José Luis; Hernández, Pedro; Jiménez, Antonio; Macías, Juan Antonio; Ruiz, Francisco José; Sánchez, María Teresa (Eds.), Investigación en Educación Matemática XX (p. 629). Malaga, España: Universidad de Málaga.

Reyes Gasperini, D. (2015). Empoderamiento docente desde una visión socioepistemológica: una alternativa para la transformación y la mejora educativa. (Tesis de doctorado).  Centro de investigación y Estudios avanzados del Instituto Politécnico Nacional, Ciudad de México, México.

[1] estos dos productos son preparaciones gastronómicas típicas del municipio donde se llevó a cabo la experiencia.

Paola Alejandra Balda Álvarez

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Este artículo del Observatorio del Instituto para el Futuro de la Educación puede ser compartido bajo los términos de la licencia CC BY-NC-SA 4.0